Operaciones con fracciones

Bases para Operaciones con fracciones

Para realizar sumas y restas de fracciones, se debe saber con exactitud que significa: divisible, números primos, números compuestos, múltiplos de un número, reglas de divisibilidad, descomposición en factores primos y mínimo común múltiplo. Por lo tanto antes de empezar a realizar las operaciones, se debe estar claro en los conceptos y procedimientos anteriores.

Divisible: cuando un número cualquiera "a" se divide por otro "b" y resulta que el residuo es cero, se dice que "a" es divisible por "b" o que "b" es divisor de "a".

Números primos: son aquellos números que sólo aceptan dos divisores. Por ejemplo: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, …, ∞. La característica de los números primos es que son divisibles por la unidad y por ellos mismos.

Números compuestos: son aquellos números que admiten más de dos divisores. Por ejemplo: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18,… , ∞. Los números compuestos siempre se pueden obtener multiplicando varios números primos. Por ejemplo: 24 = 2.2.2.3, esto se puede escribir .

Múltiplos de un número: Son todos los números que se obtienen al multiplicar al número por cada uno de los números naturales. Por ejemplo: los múltiplos del 3 son: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24,…, ∞. Se puede observar que los múltiplos del 3 son exactamente igual a contar de 3 en 3, esto sucede con cada uno de los múltiplos de cualquier número.

Nota: el número cero y el uno, son números especiales, ya que el cero admite infinitos divisores, esto hace que la división por cero sea indeterminada; y el uno admite un solo divisor, por lo cual no se le puede catalogar como número primo, pero el uno es el divisor universal, ya que divide a todos los números.

Reglas de divisibilidad: son procedimientos que dependen de las características de los números, con estos se pueden descomponer los números en sus factores primos, es decir, hallar los números primos que se multiplicaron para originar al número compuesto en cuestión. Las reglas más usadas son:

a) Divisibilidad por el 2: todo número par es divisible por el dos. Si no sabes cuales son los números pares, son todos aquellos números terminados en 0, 2, 4, 6, u 8. Por ejemplo: 36/2 = 18.

b) Divisibilidad por el 3: Todo número es divisible por tres si la suma de todos sus dígitos da un múltiplo del número tres. Por ejemplo: 1008 es divisible por tres, ya que 1+0+0+8 da 9 y 9 es múltiplo de tres.


c) Divisibilidad por el 5: Todo número cuya unidad sea cero o cinco es divisible por cinco. Por ejemplo: 45/5 = 9 ó 60/5 = 12.


d) Divisibilidad por el 7: Todo número es divisible por 7, si se cumple que al separar la unidad del número, multiplicarla por dos y luego restársela a la cifra que queda del número original, da un múltiplo de 7, si no se es capaz de determinar si el número generado es o no múltiplo de 7, se debe repetir el proceso hasta que de cero o se logre detectar un múltiplo de 7. Si no da múltiplo de 7, por supuesto no es divisible por 7. Por ejemplo: será 602 divisible por 7. Se toma el 2 y se multiplica por 2, dando 4, luego a 60 se le resta el 4 y da 56, luego como 56 es múltiplo de 7, entonces 602 en divisible por 7; será 1736 divisible por 7, 6.2 = 12, luego a 173 se le resta 12 y da 161 después separen el 1 y 1por 2 es 2, luego al 16 le restan el 2 y resulta 14 y 14 es múltiplo de 7, por lo que el número 1736 es divisible por 7.

Descomposición en números primos: Es el proceso por el cual se descubre cuales son los números primos que se deben multiplicar para generar al número compuesto en cuestión. Se puede realizar de dos formas la tradicional o la sintética. La tradicional consiste en usar los criterios de divisibilidad y la sintética en saberse la tabla de multiplicar a la perfección y en el cual no se usan los criterios de divisibilidad.

a) Usando los criterios de divisibilidad, por ejemplo: descomponga el número 48.

48 2 Como se puede ver el 48 es par, se divide por dos
24 2 Como se puede ver el 24 es par, se divide por dos
12 2 Como se puede ver el 12 es par, se divide por dos
6 2 Como se puede ver el 6 es par, se divide por dos
3 3 Como se puede ver el 3 no es par, se divide por tres
1

En definitiva el número 48 se obtiene multiplicando (2 elevado a la 4) por 3

b) Si se usa la tabla de multiplicar basta con ir cambiando los factores por multiplicaciones equivalentes, por lo que 48 es equivalente a 6.8 y el 6 equivale a 2.3 y el 8 a 2.2.2 luego el 6.8 se puede cambiar por 2.3.2.2.2 que equivale a (2 elevado a la 4) por 3, dando así el mismo resultado.

Mínimo común múltiplo (m.c.m) de dos o más números: es el más pequeño de los múltiplos comunes a todos los números involucrados. Se caracteriza por ser igual o mayor al mayor de los números en cuestión y siempre será divisible por cada uno de ellos. La forma tradicional de hallar el m.c.m es: Primero se debe descomponer cada uno de los números en sus factores primos, segundo se deben multiplicar los factores comunes y no comunes con su mayor exponente y el producto que se obtiene es el m.c.m.

Halle el m.c.m. de 30, 40 y 48. Usando el método sintético

30 40 48 2 Como todos son pares, se usa el 2 como divisor

15 20 24 2 Como al menos uno es par, se usa el dos sin tocar al número no par
15 10 12 2 Como al menos uno es par, se usa el dos sin tocar al número no par
15 5 6 2 Como al menos uno es par, se usa el dos sin tocar al número no par
15 5 3 3 Como al menos uno es divisible por 3, se usa el 3
5 5 1 5 Como al menos uno es divisible por 5, se usa el 5
1 1 1


Luego el m.c.m es: (2 elevado a la 4).3.5 = 240

OPERACIONES CON FRACCIONES

I) Suma: Para sumar dos o más fracciones hay varias formas, se explicará el método que hace que todos los denominadores sean iguales, por lo cual se puede convertir en una sola fracción al copiarun sólo denominador y colocar los nuevos numeradores en un solo numerador, este método se usa para sumar cualquier cantidad de fracciones, pero el ejemplo se hará con tres fracciones, el método es el siguiente:

1) Se calcula el m.c.m. de los denominadores.

2) Se escribe una sola fracción cuyo denominador es el m.c.m. y el numerador es la suma de tres términos que se obtienen de la siguiente manera: